Johny Carvalho - >>> Física <<<

Mecânica Clássica

Problema proposto

[1]

Um corpo de massa m é preso a uma mola de constante k e submetido a uma força restauradora F(t). Todo sistema está imerso num fluído que gera uma força de resistência F. Esse problema é equacionado pela 2ª lei de Newton da seguinte forma:

A solução particular dessa equação é dada por:

A intesidade da força de resistência F e da força restauradora F(t) são respectivamente:

(a)

Mostre que a solução particular é parte de uma solução complexa;

(b)

Mostre que a diferença de fase entre Xp(t) e F(t) é dada por:

(c)

Sabendo que

A potência P aplicada por F(t) é dada por:
A potência média é dada por:
Mostre que

Solução

[2]

Item(a)

A solução complexa será

(1)

admitindo, por hipótese, que a força restauradora,

é parte real de uma solução complexa temos,

(2)

reescrevendo nosso sistema na forma complexa,

(3)

derivando (1)

(4)

substituindo (1) e (4) em (3)

(5)

Dos números complexos,

Plano Argand-Gauss	coordenada retangular	coordenada polar

onde o módulo e ângulo são respectivamente,
comparando o denominador de (5),

(6)

De (5) e (6)

Substituindo o resultado em (1)

Equação complexa da Posição

(7)

Equação complexa da Velocidade

(8)

Estamos interessandos na solução particular da equação complexa, ou seja, na parte real da solução.

Substituindo (2) em (7)

(9)

Aplicando a equação de Euler em (9)

Solução particular,

(10)

Podemos agora encontrar a solução geral,

(11)

Candidato a solução da homogênea associada,

(12)

Substituindo (10) e (12) em (11), temos a solução geral

O termo (A) é chamado de transiente e o termo (B) é chamado de estacionário.

Observe que, para longos períodos, (12) tende a ficar desprezível (reduzindo-se a zero no limite quando t tende para o infinito). Neste caso a solução geral fica reduzia a solução particular (10).

Item(b)

Diferença de fase entre Xp(t) e F(t)