Transformações de Galileu
Suponhamos dois sistemas de coordenadas \(S\) e \(S^{\prime}\). Os eixos dos dois sistemas são paralelos e o sistema \(S^{\prime}\) move-se na direção \(x\) com velocidade constante \(u\) em relação ao sistema \(S\) e, ainda, no instante inicial as origens dos sistemas coincidem. Um ponto \(P\) pode ser descrito tanto pelo sistema \(S(x_0,x_1,x_2,x_3)\), quanto pelo sistema \(S^{\prime}(x^{\prime}_0,x^{\prime}_1,x^{\prime}_2,x^{\prime}_3)\). Consideremos, então, as coordenadas abaixo, para o ponto \(P\) no intervalo de tempo \([0,t]\) nos referidos sistemas \(S\) e \(S^{\prime}\).
\begin{aligned}
\text{instante inicial,} \left\{\begin{array}{cl}
t = t^{\prime}=0\\
x = x^{\prime}\hspace{1.8em}\\
y = y^{\prime}\hspace{1.8em}\\
z = z^{\prime}\hspace{1.8em}
\end{array} \right. \hspace{0.75em} \hspace{0.75em} \text{ e } \hspace{0.75em}
\text{instante }t, \left\{\begin{array}{cl}
t = t^{\prime}\hspace{2.0em}\\
x = x^{\prime} + ut\\
y = y^{\prime}\hspace{2.0em}\\
z = z^{\prime}\hspace{2.0em}
\end{array} \right.
\end{aligned}
Estas são as transformações galelianas de coordenadas ou, ainda, transformação de Galileu.
Derivando em relação ao tempo \(t\), obtemos as seguintes transformações de velocidades,
\begin{aligned}
\dot{x} = \dot{x}^{\prime} + u\\
\dot{y} = \dot{y}^{\prime}\hspace{1.8em}\\
\dot{z} = \dot{z}^{\prime}\hspace{1.8em}
\end{aligned}
da velocidade na direção do eixo \(Ox\) podemos concluir que,
\begin{aligned}
u_x = u_x^{\prime} + u.
\end{aligned}
Ora! Não parece nada de anormal com este resultado. Mas, quando \(u_x=c\), ou seja, quando o ponto \(P\) move-se com a velocidade da luz temos,
\begin{aligned}
c = c^{\prime} + u.
\end{aligned}
Ops! Algo parece estar errado, pois o 2º postulado de Einstein diz que \(c = c'\).
Então, partindo do pressuposto que o postulado é verdadeiro, as transformações de coordenadas galileanas precisam de correções. Para isto, vamos introduzir constantes, a serem determinadas, nas coordenadas do ponto \(P\).
\begin{aligned}
x^{\prime} = & \, Ax + Bt\\
y^{\prime} = & \, y\\
z^{\prime} = & \, z\\
t^{\prime} = & \, Dx + Ft
\end{aligned}
na origem \(x^{\prime}=0\) então,
\begin{aligned}
0 = & \, Ax + Bt \hspace{0.4cm}\Rightarrow\hspace{0.4cm} x=-\dfrac{B}{A}t\\
\\
x = & \, ut, \hspace{0.4cm}\text{ onde }\hspace{0.4cm}u=-\dfrac{B}{A}
\end{aligned}
reescrevendo \(x^{\prime}\)
\begin{aligned}
x^{\prime} = A(x -ut).
\end{aligned}
Imaginemos agora um pulso de luz na origem do sistema de coordenada \(S\), teremos:
\begin{aligned}
S:\hspace{0.4cm} & x^2 + y^2 + z^2 = c^2t^2 \\
\\
S^{\prime}:\hspace{0.4cm} & x^{\prime 2} + y^{\prime 2} + z^{\prime 2} = c^2t^{\prime 2}
\end{aligned}
escrevendo as equações do sistema \(S^{\prime}\) em termos das coordenadas do sistema \(S\) teremos
\begin{aligned}
A^2(x-ut)^2 + y^2 + z^2 = &\, c^2(Dx + Ft)^2 \\
A^2(x^2 + u^2 t^2 - 2 xut) + y^2 + z^2 = &\, c^2(D^2 x^2 + F^2 t^2 + 2 DxFt)
\end{aligned}
organizado os termos desta última equação e comparando com a equação em \(S\), temos
\begin{aligned}
\underbrace{(A^2 - c^2 D^2)}_{1} x^2 - \underbrace{2 (A^2 u + c^2 DF)}_{0}xt + y^2 + z^2 = &\, \underbrace{(c^2 F^2 - A^2 u^2)}_{c^2} t^2
\end{aligned}
ou seja,
\begin{aligned}
A^2 - c^2 D^2 =\,&\, 1 \\
A^2 u + c^2 DF =\,&\, 0 \\
c^2 F^2 - A^2 u^2 =\,&\, c^2
\end{aligned}
Para resolvermos o sistema acima vamos inicialmente explicitar o valor de \(D\) em termos das outras constantes \(A\) e \(F\)
\begin{aligned}
A^2 u + c^2 DF = 0 \hspace{0.4cm}\Rightarrow\hspace{0.4cm} D = -\dfrac{A^2 u}{c^2 F}
\end{aligned}
e, em seguida, explicitar o valor do termo \(c^2 F^2 \) em termos da constante \(A\)
\begin{aligned}
A^2 - c^2 D^2 =\,&\, 1 \\
A^2 - c^2 \left(-\dfrac{A^2 u}{c^2 F}\right)^2 =\,&\, \\
A^2 - \dfrac{A^4 u^2}{c^2 F^2} =\,&\, \\
c^2 F^2 =\,&\, \dfrac{A^4 u^2}{A^2 - 1}
\end{aligned}
substituíndo este resultado na última equação do sistema teremos
\begin{aligned}
c^2 F^2 - A^2 u^2 =\,&\, c^2 \\
\dfrac{A^4 u^2}{A^2 - 1} - A^2 u^2 =\,&\, \\
A^4 u^2 - A^2 u^2 (A^2 - 1) =\,&\, c^2 (A^2 - 1) \\
A^2 u^2 \left[A^2 - (A^2 - 1)\right] =\,&\, \\
A^2 u^2 =\,&\, c^2 A^2 - c^2 \\
A^2 \left(u^2 - c^2 \right) =\,&\, - c^2 \\
A^2 =\,&\, \dfrac{- c^2}{u^2 - c^2} = \dfrac{c^2}{c^2 - u^2} = \dfrac{1}{1 - \dfrac{u^2}{c^2}}
\end{aligned}
combinando este resultado com o já anteriormente obtido temos,
\begin{aligned}
c^2 F^2 =\,&\, \dfrac{A^4 u^2}{A^2 - 1} \\
(A^2 - 1) c^2 F^2 =\,&\, A^2 \dfrac{c^2}{c^2 - u^2} u^2 \\
c^2 \left(\dfrac{c^2}{c^2 - u^2} - 1 \right) F^2 =\,&\, \\
\dfrac{c^4 -(c^4 - c^2 u^2)}{c^2 - u^2} F^2 =\,&\, \\
u^2 \,\dfrac{c^2}{c^2 - u^2} \, F^2 =\,&\, A^2 \, \dfrac{c^2}{c^2 - u^2}\, u^2 \\
F =\,&\, A
\end{aligned}
Agora, como este último resultado, \(F = A\), podemos obter o valor de \(D\) em termos de apenas uma constante
\begin{aligned}
A^2 u + c^2 DF = 0 \hspace{0.4cm}\Rightarrow\hspace{0.4cm} D = -\dfrac{A^2 u}{c^2 A}= -A\dfrac{u}{c^2}
\end{aligned}
E, com isto, podemos reescrever a equação para \(t^{\prime}\)
\begin{aligned}
t^{\prime} = & \, Dx + Ft \\
= & \, \left(-A\dfrac{u}{c^2} \right)x + At \\
= & \, A \left(t-\dfrac{u}{c^2}x \right) \\
\end{aligned}
Podemos ainda, reescrever \(A\) da seguinte forma
\begin{aligned}
A^2 =\,&\, \dfrac{1}{1 - \dfrac{u^2}{c^2}} \hspace{0.4cm}\Rightarrow\hspace{0.4cm} A = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{u^2}{c^2}}}
\end{aligned}
e definindo
\begin{aligned}
\gamma \equiv A =\,&\, \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{u^2}{c^2}}}
\end{aligned}
chegamos ao fator gama \((\gamma)\) de Lorentz que aparece nas transformações de Lorentz.
Transformações de Lorentz
\begin{aligned} x^{\prime} = & \, \gamma (x - ut)\\ y^{\prime} = & \, y\\ z^{\prime} = & \, z\\ t^{\prime} = & \, \gamma \left(t-\dfrac{u}{c^2}x \right) \end{aligned}Transformações Inversas
\begin{aligned} x = & \, \gamma (x^{\prime} + ut)\\ y = & \, y^{\prime}\\ z = & \, z^{\prime}\\ t = & \, \gamma \left(t^{\prime}+\dfrac{u}{c^2}x^{\prime} \right) \end{aligned}Postulados de Einstein (Relatividade Restrita)
1ºPostulado: "As leis da física são as mesmas em todos os referenciais inerciais"; e
2ºPostulado: "A velocidade da luz (no vácuo) é uma constante universal, independente de qualquer movimento relativo da fonte e do observador.