| Gravitação Universal |
| 1) Velocidade de Escape da Terra |
\(v=\sqrt{\dfrac{2\,GM}{R}}\)
A energia potencial é \(E_p=-\dfrac{GMm}{r}\) e a energia cinética é \( E_c=\dfrac{1}{2}mv^2\), da conservação da energia mecânica temos:
\(E_p + E_c = 0 \) (as forças envolvidas são forças conservativas)
\begin{aligned}
-\dfrac{GMm}{r} + \dfrac{1}{2}mv^2 =\,& 0\\
\dfrac{1}{2}mv^2 =\,& \dfrac{GMm}{r}\\
\dfrac{1}{2}v^2 =\,& \dfrac{GM}{r} \\
v^2 =\,& \dfrac{2\,GM}{r} \quad\longrightarrow\quad v = \sqrt{\dfrac{2\,GM}{r}} \\
\end{aligned}
Substituindo os valores da constante da gavitação universal \(G=6,67\times 10^{-11}\,\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{kg}^{-2}\), da massa da Terra \(M_T=5,98\times 10^{24}\,\)kg, e do raio da Terra \( R_T=6,37\times 10^{6}\,\)m
\begin{aligned}
v =\,& \sqrt{\dfrac{2\,(6,67\times 10^{-11}\,\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{kg}^{-2})(5,98\times 10^{24}\,\mathrm{kg})}{(6,37\times 10^{6}\,\mathrm{m})}} = \sqrt{\dfrac{2\,(6,67\times 10^{-11}\,\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-2}\cdot\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{kg}^{-2})(5,98\times 10^{24}\,\mathrm{kg})}{(6,37\times 10^{6}\,\mathrm{m})}} \\
\\
v =\,& 11190,73\,\mathrm{m/s} \quad\mbox{ou}\quad v =\, 11,2\,\mathrm{km/s} \quad\mbox{ou ainda}\quad v =\,40286\,\mathrm{km/h}
\end{aligned}
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| 2) E se o raio do Sol fosse 1 km? |
\(v_{luz} < v_{escape}\)
A velocidade da luz é \(v_{luz}= 3,0\times 10^8\,\)m/s e a velocidade de escape é dada por:
\begin{aligned}
v = \sqrt{\dfrac{2\,GM}{r}} \\
\end{aligned}
A massa do Sol é \(M_{Sol}=1,99\times 10^{30}\,\)kg, a constante da gavitação universal \(G=6,67\times 10^{-11}\,\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{kg}^{-2}\), e para o raio do Sol usaremos o valor hipotético de 1 km, substituindo os valores temos:
\begin{aligned}
v =\,& \sqrt{\dfrac{2\,GM}{r}}\\
=\,& \sqrt{\dfrac{2\,(6,67\times 10^{-11}\,\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{kg}^{-2})(1,99\times 10^{30}\,\mathrm{kg})}{(1,00\times 10^{3}\,\mathrm{m})}} \\
=\,& 515.233.927,45\, \mathrm{m/s} \quad\mbox{ou}\quad v_{escape} = 5,15\times 10^8\, \mathrm{m/s}
\end{aligned}
Nesse caso hipotético a velocidade de escape, \(v_{escape}\), é maior que a velocidade da luz, \(v_{luz}\), e, dessa forma, não teríamos luz do Sol.
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| Mecânica Clássica |
| Classical Mechanics |
| Demonstrações & Exercícios
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| 1) Transformaçőes de Lorentz |
\(x^{\prime} = \gamma (x - ut)\)
\(y^{\prime} = y\)
\(z^{\prime} = z\)
\(t^{\prime} = \gamma \left(t-\dfrac{u}{c^2}x \right)\)
\begin{aligned}
\text{transformações de Galileu:} \left\{\begin{array}{cl}
t = t^{\prime}=0\\
x = x^{\prime}\hspace{1.8em}\\
y = y^{\prime}\hspace{1.8em}\\
z = z^{\prime}\hspace{1.8em}
\end{array} \right.\quad\longrightarrow\quad
\text{transformações de velocidades:} \left\{\begin{array}{cl}
\dot{x} = \dot{x}^{\prime} + u\\
\dot{y} = \dot{y}^{\prime}\hspace{1.8em}\\
\dot{z} = \dot{z}^{\prime}\hspace{1.8em}\end{array} \right.
\end{aligned}
velocidade na direção do eixo \(Ox\),
\begin{equation*}
u_x = u_x^{\prime} + u,\quad\mbox{se}\quad u_x=c \quad\longrightarrow\quad c=c'+u
\end{equation*}
mas, o 2º postulado de Einstein diz que \(c = c'\). As transformações galileanas precisam de correções
\begin{aligned}
x^{\prime} = & \, Ax + Bt \\
y^{\prime} = & \, y\\
z^{\prime} = & \, z\\
t^{\prime} = & \, Dx + Ft
\end{aligned}
na origem \(x^{\prime}=0\),
\begin{aligned}
0 = & \, Ax + Bt \hspace{0.4cm}\Rightarrow\hspace{0.4cm} x=-\dfrac{B}{A}t\\
\\
x = & \, ut, \hspace{0.4cm}\text{ onde }\hspace{0.4cm}u=-\dfrac{B}{A}
\end{aligned}
reescrevendo \(x^{\prime}\)
\begin{aligned}
x^{\prime} = A(x -ut).
\end{aligned}
Na origem do sistema \(S\)
\begin{aligned}
\mbox{referencial } S\,:\hspace{0.4cm} & x^2 + y^2 + z^2 = c^2t^2 \\
\\
\mbox{referencial } S^{\prime}:\hspace{0.4cm} & x^{\prime 2} + y^{\prime 2} + z^{\prime 2} = c^2t^{\prime 2}
\end{aligned}
escrevendo \(S^{\prime}\) em termos de \(S\)
\begin{aligned}
A^2(x-ut)^2 + y^2 + z^2 = &\, c^2(Dx + Ft)^2 \\
A^2(x^2 + u^2 t^2 - 2 xut) + y^2 + z^2 = &\, c^2(D^2 x^2 + F^2 t^2 + 2 DxFt)
\end{aligned}
organizado os termos
\begin{aligned}
\underbrace{(A^2 - c^2 D^2)}_{1} x^2 - \underbrace{2 (A^2 u + c^2 DF)}_{0}xt + y^2 + z^2 = &\, \underbrace{(c^2 F^2 - A^2 u^2)}_{c^2} t^2
\end{aligned}
\begin{cases}
A^2 - c^2 D^2 =\,&\, 1 \\
A^2 u + c^2 DF =\,&\, 0 \\
c^2 F^2 - A^2 u^2 =\,&\, c^2
\end{cases}
explicitando \(D\) em termos de \(A\) e \(F\)
\begin{aligned}
A^2 u + c^2 DF = 0 \hspace{0.4cm}\Rightarrow\hspace{0.4cm} D = -\dfrac{A^2 u}{c^2 F}
\end{aligned}
e, em seguida, explicitar o valor do termo \(c^2 F^2 \) em termos da constante \(A\)
\begin{aligned}
A^2 - c^2 D^2 =\,&\, 1 \\
A^2 - c^2 \left(-\dfrac{A^2 u}{c^2 F}\right)^2 =\,&\, \\
A^2 - \dfrac{A^4 u^2}{c^2 F^2} =\,&\, \\
c^2 F^2 =\,&\, \dfrac{A^4 u^2}{A^2 - 1}
\end{aligned}
substituíndo este resultado na última equação do sistema teremos
\begin{aligned}
c^2 F^2 - A^2 u^2 =\,&\, c^2 \\
\dfrac{A^4 u^2}{A^2 - 1} - A^2 u^2 =\,&\, \\
A^4 u^2 - A^2 u^2 (A^2 - 1) =\,&\, c^2 (A^2 - 1) \\
A^2 u^2 \left[A^2 - (A^2 - 1)\right] =\,&\, \\
A^2 u^2 =\,&\, c^2 A^2 - c^2 \\
A^2 \left(u^2 - c^2 \right) =\,&\, - c^2 \\
A^2 =\,&\, \dfrac{- c^2}{u^2 - c^2} = \dfrac{c^2}{c^2 - u^2} = \dfrac{1}{1 - \dfrac{u^2}{c^2}}
\end{aligned}
combinando este resultado com o já anteriormente obtido temos,
\begin{aligned}
c^2 F^2 =\,&\, \dfrac{A^4 u^2}{A^2 - 1} \\
(A^2 - 1) c^2 F^2 =\,&\, A^2 \dfrac{c^2}{c^2 - u^2} u^2 \\
c^2 \left(\dfrac{c^2}{c^2 - u^2} - 1 \right) F^2 =\,&\, \\
\dfrac{c^4 -(c^4 - c^2 u^2)}{c^2 - u^2} F^2 =\,&\, \\
u^2 \,\dfrac{c^2}{c^2 - u^2} \, F^2 =\,&\, A^2 \, \dfrac{c^2}{c^2 - u^2}\, u^2 \\
F =\,&\, A
\end{aligned}
Agora, como este último resultado, \(F = A\), podemos obter o valor de \(D\) em termos de apenas uma constante
\begin{aligned}
A^2 u + c^2 DF = 0 \hspace{0.4cm}\Rightarrow\hspace{0.4cm} D = -\dfrac{A^2 u}{c^2 A}= -A\dfrac{u}{c^2}
\end{aligned}
E, com isto, podemos reescrever a equação para \(t^{\prime}\)
\begin{aligned}
t^{\prime} = & \, Dx + Ft \\
= & \, \left(-A\dfrac{u}{c^2} \right)x + At \\
= & \, A \left(t-\dfrac{u}{c^2}x \right) \\
\end{aligned}
Podemos ainda, reescrever \(A\) da seguinte forma
\begin{aligned}
A^2 =\,&\, \dfrac{1}{1 - \dfrac{u^2}{c^2}} \hspace{0.4cm}\Rightarrow\hspace{0.4cm} A = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{u^2}{c^2}}}
\end{aligned}
e definindo
\begin{aligned}
\gamma \equiv A =\,&\, \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{u^2}{c^2}}}
\end{aligned}
chegamos ao fator gama \((\gamma)\) de Lorentz que aparece nas transformações de Lorentz.
Transformações de Lorentz
\begin{aligned}
x^{\prime} = & \, \gamma (x - ut)\\
y^{\prime} = & \, y\\
z^{\prime} = & \, z\\
t^{\prime} = & \, \gamma \left(t-\dfrac{u}{c^2}x \right) \hspace{2.8cm}
\end{aligned}
Transformações Inversas
\begin{aligned}
x = & \, \gamma (x^{\prime} + ut)\\
y = & \, y^{\prime}\\
z = & \, z^{\prime}\\
t = & \, \gamma \left(t^{\prime}+\dfrac{u}{c^2}x^{\prime} \right) \hspace{2.5cm} \blacksquare
\end{aligned}
|
| 2) Gradiente de uma função arbitrária |
| \(\nabla f(r)=\dfrac{\vec{r}}{r}\dfrac{df(r)}{dr}\)
No espaço 3-D, temos:
\begin{aligned}
r = \left [ \sum_{i}^{3}x_{i}^{3} \right ]^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}} \hspace{1.5cm} \mbox{e} \hspace{1.5cm} \nabla = \sum_{i}^{3}\hat{e}_{i}\dfrac{\partial}{\partial x_{i}} = \hat{e}_{1} \dfrac{\partial}{\partial x_{1}} + \hat{e}_{2} \dfrac{\partial}{\partial x_{2}} + \hat{e}_{3} \dfrac{\partial}{\partial x_{3}} \\
\end{aligned}
gradiente de \(r\)
\begin{aligned}
\nabla r = \,&\, \dfrac{1}{2}\dfrac{2\,x_1}{\sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}}}\hat{e}_1 + \dfrac{1}{2}\dfrac{2\,x_2}{\sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}}}\hat{e}_2 + \dfrac{1}{2}\dfrac{2\,x_3}{\sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}}}\hat{e}_3\\
= \,&\, \dfrac{x_1\hat{e}_1 + x_2\hat{e}_2 + x_3\hat{e}_3}{\sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}}} \\
= \,&\, \dfrac{\vec{r}}{r}=\hat{r} \\
\end{aligned}
gradiente de uma função arbitrária \(f(r)\)
\begin{aligned}
\nabla f(r) = \,&\, \dfrac{x_1\,\hat{e}_1}{\sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}}}\dfrac{df(r)}{dr} + \dfrac{x_2\,\hat{e}_2}{\sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}}}\dfrac{df(r)}{dr} + \dfrac{x_3\,\hat{e}_3}{\sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}}}\dfrac{df(r)}{dr}\\
= \,&\, \dfrac{x_1\hat{e}_1 + x_2\hat{e}_2 + x_3\hat{e}_3}{\sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2}}}\dfrac{df(r)}{dr} \\
= \,&\, \dfrac{\vec{r}}{r} \dfrac{df(r)}{dr} = \hat{r}\,\dfrac{df(r)}{dr}\\
\\
\\
\nabla f(r) = \,&\, \dfrac{\vec{r}}{r} \dfrac{df(r)}{dr} \hspace{1.5cm} \mbox{ou} \hspace{1.5cm} \nabla f(r) = \hat{r}\,\dfrac{df(r)}{dr} \hspace{2.5cm} \blacksquare \\
\end{aligned}
|
| Derivada de vetores - Propriedades |
| (a)\(\hspace{1.5cm} \dfrac{d}{dt}\left[\,\vec{A}(t) + \vec{B}(t) \,\right] = \dfrac{d\,\vec{A}(t)}{dt} + \dfrac{d\,\vec{B}(t)}{dt} \)
\(\mbox{em termos dos componentes dos vetores}\)
\begin{aligned}
\dfrac{d}{dt}\left[ \vec{A}(t) + \vec{B}(t) \right] = &\, \dfrac{d}{dt}\left[ \sum_{i}A_{i}(t)\,\hat{e}_{i} + \sum_{j}B_{j}(t)\,\hat{e}_{j}\right]
\\
&\, \mbox{da definição de derivada}
\\
= &\, \lim_{\Delta t \rightarrow 0 } \dfrac{\sum_{i}A_{i}(t+\Delta t)\,\hat{e}_{i} + \sum_{j}B_{j}(t+\Delta t)\,\hat{e}_{j} - \sum_{i}A_{i}(t)\,\hat{e}_{i} - \sum_{j}B_{j}(t)\,\hat{e}_{j} }{\Delta t}
\\
&\, \mbox{o limite da soma é a soma dos limites}
\\
= &\, \lim_{\Delta t \rightarrow 0 } \dfrac{ \sum_{i}A_{i}(t+\Delta t)\,\hat{e}_{i} - \sum_{i}A_{i}(t)\,\hat{e}_{i} }{\Delta t \rightarrow 0} + \lim_{\Delta t \rightarrow 0 } \dfrac{ \sum_{j}B_j(t+\Delta t)\,\hat{e}_{j} - \sum_{j}B_{j}(t)\,\hat{e}_{j} }{\Delta t \rightarrow 0}
\\
&\, \mbox{voltando aos componentes dos vetores}
\\
= &\, \dfrac{d}{dt}\left[ \sum_{i}A_{i}(t)\,\hat{e}_{i}\right] + \dfrac{d}{dt}\left[ \sum_{j}B_{j}(t)\,\hat{e}_{j}\right]
\\
= &\, \dfrac{d\vec{A}(t)}{dt} + \dfrac{d\vec{B}(t)}{dt} \hspace{2.5cm} \blacksquare \\
\end{aligned}
|
| (b)\(\hspace{1.5cm} \dfrac{d}{dt}\left[\,f(t)\,\vec{A}(t) \,\right] = f(t)\,\dfrac{d\,\vec{A}(t)}{dt} + \vec{A}(t)\,\dfrac{d\,f(t)}{dt} \)
\(\mbox{em termos dos componentes dos vetores}\)
\begin{aligned}
\dfrac{d}{dt}\left[\,f(t)\,\vec{A}(t) \,\right] = \,&\, \dfrac{d}{dt}\left[ f(t)\sum_{i}A_{i}(t)\,\hat{e}_{i}\right]
\\
& \mbox{da definição de derivada}
\\
= & \lim_{\Delta t \rightarrow 0 } \dfrac{f(t+\Delta t)\sum_{i}A_{i}(t+\Delta t)\,\hat{e}_{i} - f(t)\sum_{i}A_{i}(t)\,\hat{e}_{i}}{\Delta t}
\\
& \mbox{o limite da soma é a soma dos limites}
\\
= & \sum_{i}\hat{e}_{i} \lim_{\Delta t \rightarrow 0 } \dfrac{f(t+\Delta t)A_{i}(t+\Delta t)}{\Delta t} - \sum_{i}\hat{e}_{i} \lim_{\Delta t \rightarrow 0 } \dfrac{f(t)\,A_{i}(t)}{\Delta t}
\\
& \mbox{o limite do produto é o produto dos limites}
\\
= & \sum_{i}\hat{e}_{i} \lim_{\Delta t \rightarrow 0 }\dfrac{1}{\Delta t} \left[\,f(t) + \lim_{\Delta t \rightarrow 0 }\dfrac{f(t+\Delta t) - f(t)}{\Delta t}\,\Delta t \right]\! \left[ A_{i}(t) + \lim_{\Delta t \rightarrow 0 }\dfrac{A_{i}(t+\Delta t) - A_{i}(t)}{\Delta t}\,\Delta t \right] - \sum_{i}\hat{e}_{i} \lim_{\Delta t \rightarrow 0 } \dfrac{f(t)\,A_{i}(t)}{\Delta t}
\\
& \mbox{organizando os termos}
\\
= & \sum_{i}\hat{e}_{i} \lim_{\Delta t \rightarrow 0 }\dfrac{1}{\Delta t} \left[\,f(t) + \dfrac{df(t)}{dt}\,\Delta t \right]\! \left[ A_{i}(t) + \dfrac{dA_{i}(t)}{dt}\,\Delta t \right] - \sum_{i}\hat{e}_{i} \lim_{\Delta t \rightarrow 0 } \dfrac{f(t)\,A_{i}(t)}{\Delta t}
\\
= & \sum_{i}\hat{e}_{i} \lim_{\Delta t \rightarrow 0 }\dfrac{1}{\Delta t} \left[\,f(t)\,A_{i}(t) + f(t)\,\dfrac{dA_{i}(t)}{dt}\,\Delta t + A_{i}(t)\dfrac{df(t)}{dt}\,\Delta t + \dfrac{df(t)}{dt}\dfrac{dA_{i}(t)}{dt}\,(\Delta t)^{2}\right] - \sum_{i}\hat{e}_{i} \lim_{\Delta t \rightarrow 0 } \dfrac{f(t)\,A_{i}(t)}{\Delta t}
\\
= & \sum_{i}\hat{e}_{i} \lim_{\Delta t \rightarrow 0 } \dfrac{f(t)\,A_{i}(t)}{\Delta t} + \sum_{i}\hat{e}_{i} \left[\,f(t)\,\dfrac{dA_{i}(t)}{dt} + A_{i}(t)\dfrac{df(t)}{dt}\right] + \sum_{i}\hat{e}_{i} \lim_{\Delta t \rightarrow 0 }\left[\dfrac{df(t)}{dt}\dfrac{dA_{i}(t)}{dt} \Delta t \right] - \sum_{i}\hat{e}_{i} \lim_{\Delta t \rightarrow 0 } \dfrac{f(t)\,A_{i}(t)}{\Delta t}
\\
= & \sum_{i}\hat{e}_{i} \left[\,f(t)\,\dfrac{dA_{i}(t)}{dt} + A_{i}(t)\dfrac{df(t)}{dt}\right]
\\
= &\,\, f(t)\,\dfrac{d}{dt}\left[ \sum_{i}A_{i}(t)\,\hat{e}_{i}\right] + \left[ \sum_{i}A_{i}(t)\,\hat{e}_{i}\right] \dfrac{df(t)}{dt}
\\
& \mbox{voltando a forma vetorial}
\\
= &\,\, f(t)\,\dfrac{d\,\vec{A}(t)}{dt} + \vec{A}(t)\,\dfrac{d\,f(t)}{dt} \hspace{2.5cm} \blacksquare
\end{aligned}
|
| (c)\(\hspace{1.5cm} \dfrac{d}{dt}\left[\,\vec{A}(t)\cdot\vec{B}(t) \,\right] = \vec{A}(t)\cdot\dfrac{d\,\vec{B}(t)}{dt} + \vec{B}(t)\cdot\dfrac{d\,\vec{A}(t)}{dt} \)
\(\mbox{em termos dos componentes dos vetores}\)
\begin{aligned}
\dfrac{d}{dt}\left[\,\vec{A}(t)\cdot\vec{B}(t) \,\right] = \,& \dfrac{d}{dt}\left[\sum_{i}A_{i}(t)\,\hat{e}_{i}\cdot\sum_{j}B_{j}(t)\,\hat{e}_{j}\right] = \dfrac{d}{dt}\left[\sum_{i}A_{i}(t)\sum_{j}B_{j}(t)\,\hat{e}_{i}\cdot\hat{e}_{j}\right]
\\
& \mbox{da definição da delta de Kronecker}
\\
=&\dfrac{d}{dt}\left[\sum_{i}\sum_{j}A_{i}(t)\,B_{j}(t)\,\delta_{ij}\right] = \dfrac{d}{dt}\left[\sum_{i}A_{i}(t)\,B_{i}(t)\right]
\\
& \mbox{da definição de derivada}
\\
=& \lim_{\Delta t \rightarrow 0 } \dfrac{\sum_{i}A_{i}(t+\Delta t)B_{i}(t+\Delta t) - \sum_{i}A_{i}(t)\,B_{i}(t)}{\Delta t}
\\
& \mbox{o limite da soma é a soma dos limites}
\\
=& \lim_{\Delta t \rightarrow 0 } \dfrac{\sum_{i}A_{i}(t+\Delta t)B_{i}(t+\Delta t)}{\Delta t} - \lim_{\Delta t \rightarrow 0 } \dfrac{\sum_{i}A_{i}(t)\,B_{i}(t)}{\Delta t}
\\
& \mbox{o limite do produto é o produto dos limites}
\\
=& \sum_{i} \lim_{\Delta t \rightarrow 0 }\dfrac{1}{\Delta t} \left[\,A_{i}(t) + \lim_{\Delta t \rightarrow 0 }\dfrac{A_{i}(t+\Delta t) - A_{i}(t)}{\Delta t}\,\Delta t \right]\!\left[ B_{i}(t) + \lim_{\Delta t \rightarrow 0 }\dfrac{B_{i}(t+\Delta t) - B_{i}(t)}{\Delta t}\,\Delta t \right] - \lim_{\Delta t \rightarrow 0 } \dfrac{\sum_{i}A_{i}(t)\,B_{i}(t)}{\Delta t}
\\
& \mbox{organizando os termos}
\\
=& \sum_{i} \lim_{\Delta t \rightarrow 0 }\dfrac{1}{\Delta t} \left[\,A_{i}(t) + \dfrac{dA_{i}(t)}{dt}\,\Delta t \right]\!\left[ B_{i}(t) + \dfrac{dB_{i}(t)}{dt}\,\Delta t \right] - \lim_{\Delta t \rightarrow 0 } \dfrac{\sum_{i}A_{i}(t)\,B_{i}(t)}{\Delta t}
\\
= & \sum_{i} \lim_{\Delta t \rightarrow 0 }\dfrac{1}{\Delta t} \left[\,A_{i}(t)B_{i}(t) + A_{i}(t)\dfrac{dB_{i}(t)}{dt}\,\Delta t + B_{i}(t)\dfrac{dA_{i}(t)}{dt}\,\Delta t + \dfrac{dA_{i}(t)}{dt}\dfrac{dB_{i}(t)}{dt}\,(\Delta t)^{2} \right] - \lim_{\Delta t \rightarrow 0 } \dfrac{\sum_{i}A_{i}(t)\,B_{i}(t)}{\Delta t}
\\
= & \lim_{\Delta t \rightarrow 0 } \dfrac{\sum_{i}A_{i}(t)\,B_{i}(t)}{\Delta t} + \sum_{i}\left[\,A_{i}(t)\dfrac{dB_{i}(t)}{dt} + B_{i}(t)\dfrac{dA_{i}(t)}{dt}\right] + \sum_{i} \lim_{\Delta t \rightarrow 0 } \left[\dfrac{dA_{i}(t)}{dt}\dfrac{dB_{i}(t)}{dt}\,\Delta t\right] - \lim_{\Delta t \rightarrow 0 } \dfrac{\sum_{i}A_{i}(t)\,B_{i}(t)}{\Delta t}
\\
& \mbox{lembrando que a delta de Kronecker é simétrica}
\\
= &\sum_{i}\sum_{j}\,A_{i}(t)\dfrac{dB_{j}(t)}{dt}\,\delta_{ij} + \sum_{j}\sum_{i}\,B_{j}(t)\dfrac{dA_{i}(t)}{dt}\,\delta_{ji}
\\
& \mbox{em termos dos componentes dos vetores}
\\
= &\sum_{i} A_{i}(t)\,\hat{e}_{i}\cdot\dfrac{d}{dt}\sum_{j} B_{j}(t)\,\hat{e}_{j} + \sum_{j}B_{j}(t)\,\hat{e}_{j}\cdot \dfrac{d}{dt}\sum_{i} A_{i}(t)\,\hat{e}_{i}
\\
& \mbox{voltando a forma vetorial}
\\
=\, & \vec{A}(t)\cdot\dfrac{d\,\vec{B}(t)}{dt} + \vec{B}(t)\cdot\dfrac{d\,\vec{A}(t)}{dt} \hspace{2.5cm} \blacksquare
\end{aligned}
|
| (d)\(\hspace{1.5cm} \dfrac{d}{dt}\left[\,\vec{A}(t)\times\vec{B}(t) \,\right] = \dfrac{d\,\vec{A}(t)}{dt}\times\vec{B}(t) + \vec{A}(t)\times\dfrac{d\,\vec{B}(t)}{dt} \)
\begin{aligned}
aguarde ...
\end{aligned}
|
